This is the 9686th most frequent Turkish word.
anılarının
"Anılarının" means "of their memories" or "of your memories" depending on context.
The word "anılarının" refers to "your memories," being in possessive case and connected to the subject who owns these memories.
Çocukluk anılarının ne kadar değerli olduğunu unutma.
Don't forget how valuable your childhood memories are.
Here, "anılarının" means "your memories" and is used as part of a possessive construction in the plural, asking for a selection among them.
Anılarının arasında en çok seni mutlu eden hangisiydi?
Among your memories, which one made you the happiest?
In this sentence, "anılarının" functions as indicating the possessive form of "memories" that belong to the subject, and it specifies the source of influence.